Les suites: Récurrence, Limites, suites Majorées minorées et bornées

I - Rappels sur les suite

Relation de récurrence pour tout n appartenant a N	UN+1=Un+r	Vn+1=q*Vn
Terme général en fonction de n pour tout n appartenant a N	Un=U0+r*n	Vn=qn*V0 =qn-1*Vn
Somme des n premiers termes

II - Raisonnement par récurrence

A) Introduction

Objet: étudier qu'une propriété dépendante de n est vraie pour tout n de N (ou a partir d'une certaine valeur n₀)
Par exemple nous posons la propriété:

Au cas ou vous ne vous en souveniez pas ou ne l'ayez jamais vu, sigma (qui ressemble en fait plus a un E ) veut dire somme de k=1 a n dans ce cas !

Passons maintenant au raisonnement.

B) Initialisation

La première étape est l'initialisation. On constate que la propriété est vraie pour k=1, c'est à dire la valeur de départ.
Pour notre exemple:
1²=1
et

Donc P₁ est vraie

C) Hérédité

On suppose que la propriété est vraie pour un n quelquonque, c'est ce qu'on apelle l'hypothèse de récurrence. On démontre alors que l'hypothèse marche aussi pour n+1

Notre professeur notament a insisté sur cette étape sur laquelle repose presque entièrement le raisonnement par récurrence. Il a utilisé une comparaison apparemment courante et qui peut vous servir. "Imaginez un escalier, si votre première marche existe et que vous prouvez par n'importe quel moyen, que l'existence d'une marche implique l'existence d'une marche au dessus, alors votre escalier est infini !" si cette phrase vous semble paradoxale relisez la bien je pense que ça peut vous aider 

Revenons a notre exemple, on suppose:

Par conséquent:





On cherche les racines du polynome 2n²+7n+6 qui sont -2 et -1.5, comme a=2 on peut le factoriser ainsi:

Or, cette expression est la même que P_n+1 donc si P_n est vraie alors P_n+1 l'est aussi.

D) Conclusion

On a donc :

III - Comportement global d'une suite

1) Sens de variation

A) Définitions

Une suite U_n est croissante à partir du rang n₀ si:




Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante a partir de son premier terme.

B) Méthodes

Pour une suite de la forme U_n=f(n) on peut effectuer l'étude des variations de la fonction f(x)
On peut également étudier le signe de U_N+1-U_n
Ou comparer:

Il faut avoir établi que tout U_n est différent de 0  pour utiliser cette méthode ! (On ne divise jamais par 0 )

Définition: Soit U_n une suite de réels. On dit que cette suite est majorée s' il existe un réel M tel que:


On dit qu'elle est minorée s'il existe un réel m tel que:


U_n est bornée si elle est majorée et minorée !

On peut aussi dire que:

• Une suite croissante est minorée par son premier terme
• Une suite décroissante est majorée par son premier terme

IV - Comportement asymptotique d'une suite

1) Suite convegente

a) Définitions

Soit U_n une suite numérique et a un réel.
On dit que U_n admet pour limite a si tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite a partir d'un certain rang.

Cette définition parait barbare et peu instinctive mais pourtant il en faut bien une car ce n'est pas si simple de définir une limite ! Je vous conseille donc de bien vous la représenter, j'ai rajouté un petit schéma qui devrait vous aider. Il est de moi donc ne soyez pas surpris si il ne vous parait pas très conventionnel, c'est juste pour bien se rendre compte 

Comme vous le voyez sur ce schéma, la limite est a a et a partir de U₇ toutes les valeurs sont comprises dans l'intervalle:

I = ]a − ε;a + ε[   (ε>0)

Le nombre de termes compris dans cet intervalle est illimité, en revanche le nombre de termes qui ne sont pas compris dans cet intervalle est fini (on peut presque les compter sur le schéma ). On est parvenu à "Bloquer" la suite dans l'intervalle I

Lorsque U_n admet une limite finie a, on dit qu'elle converge et on le note:

a = lim U_n

b) Théorème

Si une suite converge sa limite est unique.
(Démonstration à venir)

3) Suites ayant pour limite + ou - l'infini

a) Définition

Une suite U_n admet pour l'imite + l'infini (Respectivement - l'infini) si tout intervalle du type [A;+infini[ (Respectivement ]-infini;A] contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

b) Suites de référence

Les suites de termes généraux:
U_n=n^α
Avec α>0 admetent pour limite +infini

4) Suites divergeantes

a) Définition

Une suite U_n est divergeante lorsqu'elle n'admet pas de limite finie. C'est à dire qu'une suite diverge lorsque que:

• 
• U_n n'admet pas de limite

Exemple de suite n'admettant pas de limites:

U_n=(-1)ⁿ

Car (-1)ⁿ dépend de la parité de n, cette suite varie donc perpetuellement entre -1 et 1!

5) Opérations sur les limites

THéorème (admis)

(U_n) et (V_n) sont deux suites telles que:



Ou a et b sont 2 nombres, ou + ou -

lim(U_n+V_n):

a \ b	reel	+	-
reel	a+b	+	-
+	+	+	?
-	-	?	-

lim(U_n*V_n):

a \ b	b  *	0	+	-
a  *	a*b	0	+/-	+/-
0	0	0	?	?
+	+/-	?	+	-
-	+/-	?	-	+

lim(U_n*V_n):

a	a  *	+	-	0
		0	0	+ si Un>0 - si Un<0

6) Théoreme des gendarmes

a) Première partie

Soient (U_n), (V_n) et (W_n) trois suites.

b) Deuxième partie

c) Troisième partie

7) Comportement asymptotique de (qⁿ)

Théorème:

1. q>1 => lim qⁿ = +
2. q=1 => lim qⁿ = 1
3. -1<q<1 => lim qⁿ =0
4. q < ou égal a -1 => qⁿ diverge et n'a pas de limite.

8) Comportement  Asymptotique de suites monotones

 a) Suite non bornée

Théoreme:

Si (U_n) est croissante et non majorée, lim U_n = +
SI (U_n) est décroissante et non minorée, lim U_n = -

Si (U_n) est une suite croissante et non majorée, pour tout réel M il existe un rang n₀ à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à M
Si (U_n) est une suite décroissante et non minorée, pour tout réel m il existe un rang n₀ à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à m

b) Suite bornée

Théoreme de la convergence monotone:
Si une suite est croissante et majorée, elle converge.
Si une suite est décroissante et minorée, elle converge.