Les suites: Récurrence, Limites, suites Majorées minorées et bornées

 
J'ai l'impression que ce cours est toujours un des premiers étudiés au lycée en Terminale S ! On peut dire que le professeur a commencé très vite et ne nous a pas laissé le temps de réfléchir  en considérent que les rappels étaient acquis...
 



I - Rappels sur les suite

 
Relation de récurrence pour tout n appartenant a N UN+1=Un+r Vn+1=q*Vn
Terme général en fonction de n pour tout n appartenant a N Un=U0+r*n Vn=qn*V0
=qn-1*Vn
Somme des n premiers termes

 

II - Raisonnement par récurrence

A) Introduction


Objet: étudier qu'une propriété dépendante de n est vraie pour tout n de N (ou a partir d'une certaine valeur n0)
Par exemple nous posons la propriété:

Au cas ou vous ne vous en souveniez pas ou ne l'ayez jamais vu, sigma (qui ressemble en fait plus a un E :)) veut dire somme de k=1 a n dans ce cas !


Passons maintenant au raisonnement.

B) Initialisation


La première étape est l'initialisation. On constate que la propriété est vraie pour k=1, c'est à dire la valeur de départ.
Pour notre exemple:
1²=1
et

Donc P1 est vraie

 

C) Hérédité


On suppose que la propriété est vraie pour un n quelquonque, c'est ce qu'on apelle l'hypothèse de récurrence. On démontre alors que l'hypothèse marche aussi pour n+1

Notre professeur notament a insisté sur cette étape sur laquelle repose presque entièrement le raisonnement par récurrence. Il a utilisé une comparaison apparemment courante et qui peut vous servir. "Imaginez un escalier, si votre première marche existe et que vous prouvez par n'importe quel moyen, que l'existence d'une marche implique l'existence d'une marche au dessus, alors votre escalier est infini !" si cette phrase vous semble paradoxale relisez la bien je pense que ça peut vous aider ;)



Revenons a notre exemple, on suppose:

Par conséquent:





On cherche les racines du polynome 2n²+7n+6 qui sont -2 et -1.5, comme a=2 on peut le factoriser ainsi:

Or, cette expression est la même que Pn+1 donc si Pn est vraie alors Pn+1 l'est aussi.

D) Conclusion


On a donc :




D'après l'experience que j'ai pu tirer des différents exercices relatifs à ce chapitre, j'ai remarqué que le plus important était:
  • De réussir a maîtriser les formules, et de ne pas s'embrouiller avec les équations parfois assez lourdes
  • De bien rédiger l'énoncé, ce que, apparemment, peu d'élèves peuvent faire
Il faut reconnaitre que cette méthode de raisonnement est peu instinctive, ou du moins dificile a concevoir facilement, il faut donc bien vérifier ce que l'on fait !

 

III - Comportement global d'une suite

 

1) Sens de variation

A) Définitions


Une suite Un est croissante à partir du rang n0 si:




Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante a partir de son premier terme.

B) Méthodes


Pour une suite de la forme Un=f(n) on peut effectuer l'étude des variations de la fonction f(x)
On peut également étudier le signe de UN+1-Un
Ou comparer:


Il faut avoir établi que tout Un est différent de 0  pour utiliser cette méthode ! (On ne divise jamais par 0 :))

2) Suites majorées, minorées, bornées


Définition: Soit Un une suite de réels. On dit que cette suite est majorée s' il existe un réel M tel que:


On dit qu'elle est minorée s'il existe un réel m tel que:


Un est bornée si elle est majorée et minorée !

On peut aussi dire que:

  • Une suite croissante est minorée par son premier terme
  • Une suite décroissante est majorée par son premier terme

 

M et m doivent bien entendu être indépendants de n. Si par exemple il existe une suite Un telle que Un soit inférieure ou égal à 4n-2 alors on ne peut pas dire que Un soit majorée.

 

Si M est majorant de Un ,alors tout reel M'>M l'est également. Une suite majorée à donc une infinité de majorants ! On peut faire la même démarche pour une suite minorée.

 

IV - Comportement asymptotique d'une suite


1) Suite convegente

a) Définitions


Soit Un une suite numérique et a un réel.
On dit que Un admet pour limite a si tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite a partir d'un certain rang.

Cette définition parait barbare et peu instinctive mais pourtant il en faut bien une car ce n'est pas si simple de définir une limite ! Je vous conseille donc de bien vous la représenter, j'ai rajouté un petit schéma qui devrait vous aider. Il est de moi donc ne soyez pas surpris si il ne vous parait pas très conventionnel, c'est juste pour bien se rendre compte :)




Comme vous le voyez sur ce schéma, la limite est a a et a partir de U7 toutes les valeurs sont comprises dans l'intervalle:

I = ]a − ε;a + ε[   (ε>0)

Le nombre de termes compris dans cet intervalle est illimité, en revanche le nombre de termes qui ne sont pas compris dans cet intervalle est fini (on peut presque les compter sur le schéma :)). On est parvenu à "Bloquer" la suite dans l'intervalle I


Lorsque Un admet une limite finie a, on dit qu'elle converge et on le note:

a = lim Un

b) Théorème


Si une suite converge sa limite est unique.
(Démonstration à venir)

3) Suites ayant pour limite + ou - l'infini

 

a) Définition


Une suite Un admet pour l'imite + l'infini (Respectivement - l'infini) si tout intervalle du type [A;+infini[ (Respectivement ]-infini;A] contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

b) Suites de référence


Les suites de termes généraux:
Un=nα
Avec α>0 admetent pour limite +infini

4) Suites divergeantes

a) Définition


Une suite Un est divergeante lorsqu'elle n'admet pas de limite finie. C'est à dire qu'une suite diverge lorsque que:

  • Un n'admet pas de limite

Exemple de suite n'admettant pas de limites:

Un=(-1)n

Car (-1)n dépend de la parité de n, cette suite varie donc perpetuellement entre -1 et 1!

5) Opérations sur les limites


THéorème (admis)

(Un) et (Vn) sont deux suites telles que:



Ou a et b sont 2 nombres, ou +infini ou -infini

lim(Un+Vn):

a \ b reel +infini -infini
reel a+b +infini -infini
+infini +infini +infini ?
-infini -infini ? -infini



lim(Un*Vn):

a \ b compris R* 0 +infini -infini
compris R* a*b 0 +/-infini +/-infini
0 0 0 ? ?
+infini +/-infini ? +infini -infini
-infini +/-infini ? -infini +infini



lim(Un*Vn):

a compris R* +infini -infini 0

0 0 +infini si Un>0
-infini si Un<0

 

6) Théoreme des gendarmes

 

a) Première partie


Soient (Un), (Vn) et (Wn) trois suites.



b) Deuxième partie



c) Troisième partie



7) Comportement asymptotique de (qn)


Théorème:

  1. q>1 => lim qn = +infini
  2. q=1 => lim qn = 1
  3. -1<q<1 => lim qn =0
  4. q < ou égal a -1 => qn diverge et n'a pas de limite.



8) Comportement  Asymptotique de suites monotones

 a) Suite non bornée

Théoreme:

Si (Un) est croissante et non majorée, lim Un = +infini
SI (Un) est décroissante et non minorée, lim Un = -infini

Si (Un) est une suite croissante et non majorée, pour tout réel M il existe un rang n0 à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à M
Si (Un) est une suite décroissante et non minorée, pour tout réel m il existe un rang n0 à partir duquel tous les termes de la suite sont inférieurs à m

b) Suite bornée


Théoreme de la convergence monotone:
Si une suite est croissante et majorée, elle converge.
Si une suite est décroissante et minorée, elle converge.

 

 

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