Probabilités et statistiques (Conditionnement)

Les probabilités conditionnelles prennent en compte les informations concernant l'issue d'une expérience qui modifient la probabilité des évènements liés à cette expérience.
On parle de probabilités conditionnelles lorsque deux évènements d'une expérience aléatoire se réalisent l'un après l'autre, on regarde alors l'influence du premier sur le second.

1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

Lecture d'un arbre

On considère une expérience aléatoire et deux événements A et B quelconques de probabilités non nulles. L'événement A est réalisé puis l'événement B.
On peut visualiser la situation en utilisant un arbre pondéré.
 

 

La probabilité de l'événement « B, sachant que l'événement A est réalisé », notée PA (B) peut se calculer en utilisant un arbre. 

En effet on a : P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)  donc    P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Par analogie on en déduit que la probabilité de l'événement « A, sachant que l'événement B est réalisé », notée PB (A) sera égale à : \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.

Propriétés

P_{A}(B)+P_{A}(\overline{B})=1.
P_{B}(A)=\frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P(B)}.

2. Comment montrer que deux évènements sont indépendants ?

Propriété

Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre. On doit donc avoir : PA (B) = P(B). 
A et B sont donc indépendants si et seulement si {P(A\cap B)}=P(A)\times P(B).
Remarque : attention à ne pas confondre incompatibles et indépendants.
 
A et B sont incompatibles si et seulement si {P(A\cap B)}=0.
 
A et B sont indépendants si et seulement si {P(A\cap B)}=P(A)\times P(B).
 

3. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

Cas d'une partition élémentaire avec A et \overline{A}.
Pour tout événement B on a : P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B).
À retenir
  • La probabilité de l'événement « B sachant que l'événement A est réalisé » est notée P_{A}(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
  • A et B sont indépendants si et seulement si {P(A\cap B)}=P(A)\times P(B).
  • P(B)=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B).

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