Etudes de Fonctions: Limites, Continuité, Dérivation

f(x) tend vers l quand x tend vers l'infini si tout intervalle ouvert contient toute les valeurs d(x) pour x assez grand.
On note:

 

I - Limites

 

1) En +infini et -infini

a) Définitions

 

Les fonctions sont ici considérées comme définies sur un intervalle de forme [M;+infini[ respectivement ]+infini;M]


f(x) tend vers l quand x tend vers l'infini si tout intervalle ouvert contient toute les valeurs d(x) pour x assez grand.
On note:


f(x) tend vers +infini quand x tend vers +infini, si tout intervalle de la forme [A;+infini[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand
On note:


On définit de manière analogue:


Et :

b) Interprétation graphique et asymptote


Soit a et b deux reels
Si:

Alors la droite Δ d'équation y=ax+b est asymptote à Cf




Ainsi l'étude du signe de f(x)-(ax+b) permet de conclure quant à la position relative de Δ et de Cf

Si on considère:

=> La droite Δ d'équation y=l est asymptote à Cf en +infini (respectivement -infini)



Pour a=0, on parle d'asymptote horizontale, autrement on parle d'asymptote oblique, dans ce dernier cas f tend vers +infini (respectivement -infini)

c) Propriétés (admises)


Pour n compris N*:





Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limites lorsque x tend vers l'infini

2) Limites en a, a compris R


Les fonctions sont ici définies sur un intervalle contenant a ou de la forme ]...;a[ ou ]a;...[

Théoreme(admis):

a) Fonctions usuelles définies en a


On dira fonction usuelle lorsque f est:

  • Une fonction polynome

Ou la somme, le produit, le quotient ou la valeur absolue de telles fonctions.
Si f est définie en a, alors:

b) Fonctions non définies en a


Si, pour x diférent de a, f(x)=g(x), ou g est une fonction usuelle telle que définie dans le 1), alors f admet une limite en a:

c)Résultat à connaitre


Asymptotes



(fragment de cours à venir)

5) Limite


Théorème (admis)
a,b et l sont des reels, ou +infini ou -infini

 

III - Continuité


Idée intuitive: soit Cf la représentation graphique de f dans le repere (O,i,j).
F est continue si l'ont peut tracer la courbe Cf sans "lever le crayon" , autrement dit sans interruption (discontinuité)


Ici Cf  est continue tandis que Cg ne l'est pas.

Définition: f est une fonction définie sur l'intervalle I contenant a. f est continue en a si:

f est continue sur I si elle est continue en tout point a compris I

Les fonctions polynômes, sinus, cosinus, racine carrée .... ou valeur absolue ainsi que les sommes, produits, quotients et composées de ces fonctions sont continues sur tout intervalle où elles sont définies ! On ne démontrera donc pas la continuité de ces fonctions usuelles.


Théoreme des valeurs intermédiaires (preuve à venir)
f est une fonction continue sur un intervalle I contenant a et b. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un reel c compris entre a et b, tel que:
f(c)=k


IV- Dérivation

 

1) Définition


f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un point de I. f est dérivable en a si:

Admet une limite l lorsque h tend vers 0
Dans ce cas l est le nombre dérrivé de f en a:

Lorsque f est dérivable en a, on peut écrire:

Ainsi f'(a)(x-a)+f(a) est une approximation affine de f au voisinage de a.
Cf admet pour tangente au point d'abscisse a la droite d'équation:
y=f'(a)(x-a)+f(a)
De plus:

Et de cela en découle:

Cela veut dire que si f est dérivable alors elle est continue.

La réciproque n'est pas vraie, par exemple la fonction racine carrée est continue en 0 mais pas dérivable !


f est dérivable sur I si f est déribable en tout point a de I
On défini alors sur I la fonction dérivée de f, f' par:

2) Variations et extremas


Théoreme:
f est une fonction dérivable sur I.

  • Si f" est nulle sur I alors f est constante
  • Si f' est strictement positive, sauf en un nombre fini de reel (ou elle s'annule), alors f est strictement croissante sur I
  • Si f' est strictement négative, sauf en un nombre fini de reel (ou elle s'annule), alors f est strictement décroissante sur I

 

3) Dérivé d'une fonction composé.


Théoreme
f fonction définie sur un intervalle I

On note sa dérivé:

Corollaire:
U(x) est une fonction dérivable en x0
Alors:

est dérivable en x0 (avec u(x0) différent de 0) et:

Si u(x0)>0, la fonction:

Est déribable et:

4) Formules de dérivation usuelles


f(x) est une fonction définie et dérivable sur I:

f(x) Df f'(x) Df'
compris R R 0 R
xn R pour n>0
R* pour n<0 
n*xn-1 Df
√(x) R+ R*+
sin(x) R cos(x) R
cos(x) R -sin(x) R
tan(x) Df


u et v sont deux fonctions

f f' Conditions
u+v u'+v'  
ku ku'  
u*v u'v+uv'  
1/v v(x) non nul sur I
u/v v(x) non nul sur I
vou u'*v'ou  
√(u) u(x)>0
un n*u'*un-1 u(x) non nul si n<0

 

 

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