Intégrale

Nous appellerons E domaine associé à une fonction f continue sur [a;b] le domaine délimité par:

• Cf (la courbe représentative de f)
• L'axe des abscisses
• Les droites d'équation x=a et x=b

Unité d'aire

Le plan P muni d'un repère orthogonal (O;i;j) a pour unité d'aire u.a l'aire du rectangle bati à partir de O;I;J

I - Intégrale d'une fonction continue et positive

soit f continue et positive sur [a;b]. L'intégrale de a à b de f est l'aire du domaine associé à f sur [a;b], exprimée en u.a. On la note:

La théorie à d'abbord été posée par rieman, en prenant une somme d'aires simples (de rectangles) et en additionant toutes ces aires on peut obtenir un resultat d'autant plus proche de la réalité que la variation entre chaque base de battonet sera petite:

II - Intégrale d'une fonction continue

Soit f une fonction continue sur [a;b] (a<b) Si f est négative alors:


Si f est de signe quelquonque, par exemple positive sur E₁ et négative sur E₂ alors:

III - Propriété

f et g continues sur un intervalle I contenant a,b et c. Pour tout a de I:



Pour a et b de I, tous reels alpha et beta:

Théoreme:

f et g deux fonctions continues, pour a < b:

f fonction continue sur [a;b] (a<b)
La valeur moyenne de f entre a et b est:


De plus, il existe c [a;b] tel que:

Supposons que f soit croissante.



Donc:


Et il existe c de [a;b] tel que (théoreme des valeurs intermediaires):

IV - Primitives

f est une fonction définie sur un intervalle I, une primitive de f est une fonction F dérivable sur I .

 

f une fonction définie sur I et admettant une primitive F sur I, alors:

1. f admet une infinité de primitive
2. Pour G, également primitive de f:
   
   

F dérivable sur I, G dérivable sur I:

G'(x)=F'(x)=f, donc (G-F)'=0, et par conséquent:

x₀ un réel donné de I, y₀ un réel, il existe une unique primitive G de f tel que:

G(x₀)=y₀

Donc:

V - Intégrale et primitive

1) Définition/Théoreme

f continue sur un intervalle I, a I
F définie sur I par:

Est l'unique primitive de f s'annulant en a.

Preuve:

Nous savons (cf théoreme précedent) qu'il existe c_h [x₀;x₀+h] tel que:


Donc:

Donc F Est bien une primitive de f, car:

f continue sur I, a et b deux reels de I et F une primitive de f, on note:

2) Intégration par partie

L'intégration par partie est en fait une méthode, il est un peu lourd d'apprendre par coeur ces fomules et d'autant plus simple de connaitre sur quoi elles sont basés: les opérations sur les dérivé!

Car: