Fonctions exponentielles

C'est en recherchant des fonctions dérivables sur dont la dérivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle. Celle-ci joue un rôle capital en mathématiques, en particulier dans la résolution des équations différentielles...
 
 
Elle intervient aussi dans de nombreuses lois de probabilité. Ce chapitre est un prolongement des suites géométriques de raison q strictement positive dont le terme général est qn.

1. Comment définir les fonctions exponentielles ?

Soit q un nombre réel strictement positif, on appelle « fonction exponentielle de base q » la fonction qui à tout réel x associe le nombre réel positif qx.
Selon les différentes valeurs de q, on obtient différentes fonctions exponentielles.
Remarque : quelque soit le nombre réel x on a : 1x = 1.
Propriétés : soit q un nombre réel positif, on a :
  • relation fonctionnelle : quelque soient les réels x et y on a : qx × qy = qx+y. On remarque donc que les fonctions exponentielles transforment un produit en somme et les quotients en différence ;
  • quelque soient les réels x et y on a \frac{q^{x}}{q^{y}}=q^{x-y} ;
  • pour tout nombre réel x on a : \frac{1}{q^{x}}=q^{-x} ;
  • pour tout nombre réel x on a : q^{\frac{x}{2}}=\sqrt{q^{x}} ;
  • pour tout nombre réel x et pour tout entier n on a : (q^{x})^{n}=q^{nx}.

 

2. Comment varient les fonctions exponentielles ?

Propriétés
Le sens de variation de la fonction exponentielle qui à tout réel x associe qx est le même que celui de la suite géométrique associée.
Selon les valeurs de q on a trois cas.
Si q est strictement compris entre 0 et 1 alors la fonction qui à tout réel x associe qx est strictement décroissante sur l'ensemble des réels.
Si q est égal à 1 alors la fonction qui à tout réel x associe qx est constante sur l'ensemble des réels.
 
Si q est strictement supérieur à 1 alors la fonction qui à tout réel x associe qx est strictement croissante sur l'ensemble des réels.
 
 
Conséquence
 
Si q est différent de 1, alors pour tous nombres réels a et b on a : qa = qb si et seulement si a =b.
 

3. La fonction exponentielle

Définition

Parmi toutes les fonctions exponentielles, il en existe une seule qui admet pour nombre dérivé 1 en 0, on l'appelle la fonction exponentielle. Sa base est égale à e avec e\approx {2,718}.
Conséquences : e0 = 1 ; e1 = e ; e^{-1}=\frac{1}{e} et e^{0,5}=\sqrt{e}
Pour tout réel x on a : e^{x}\times e^{-x}=1.
 
Dérivée, courbe représentative
 
La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.
Pour tout réel x on a : (ex)' = ex.
Le nombre e est strictement supérieur à 1, donc la fonction exponentielle est strictement croissante.
 
 
Courbe représentative de la fonction exponentielle
 
 
 
Dérivée de la fonction eu(x)
 
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a : (eu(x))' =u'(x)×eu(x).
 
À retenir
  • Soit q un nombre réel strictement positif, on appelle « fonction exponentielle de base q » la fonction qui à tout réel x associe le nombre réel positif qx.
  • Si q est strictement compris entre 0 et 1 alors la fonction qui à tout réel x associe qx est strictement décroissante sur l'ensemble des réels.
  • Si q est strictement supérieur à 1 alors la fonction qui à tout réel x associe qx est strictement croissante sur l'ensemble des réels.
  • qa = qb si et seulement si a = b.
  • Parmi toutes les fonctions exponentielles, il en existe une seule qui admet pour nombre dérivé 1 en 0, on l'appelle «  la fonction exponentielle ». Sa base est égale à e avec e\approx {2,718}.
  • Pour tout réel x on a : e^{x}\times e^{-x}=1.
  • Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a :(e^{u(x)})'=u'(x)\times e^{u(x)}.

 

 

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