Probabilités

Lorsqu'une expérience aléatoire comporte un nombre fini d'issues ou défini sur l'ensemble de ces issues, appelé univers est noté...

 

 
 

I - Rappels

 

1) Notions

 

Loi de probabilité

Lorsqu'une expérience aléatoire comporte un nombre fini d'issues ou défini sur l'ensemble de ces issues, appelé univers est noté:


Un loi de probabilité associe à chaque xi un nombre pi tel que:


 

Loi équirépartie


Soit p=(p1,p2,...,pn) une loi de probabilité sur Ω

On  dit que P est équirépartie lorsque:


Par conséquent:

Paramètres associés


On appelle espérence de la loi P le nombre:


On appelle variance de la loi P le nombre V:


On appelle écart type:

 

2) Définitions


Evènement: on appelle évènement toute partie A de Ω

Evènement élémentaire: un évènement réduit à une seul issue, par exemple A={xi} est un évènement élémentaire

Evènement certain: L'univers constitue l'événement certain

Evènement impossible: L'ensemble vide est l'événement impossible

Evènement contraire: L'évènement contraire a A est:


Evènements incompatibles: deux évènements A et B sont incompatibles si:


Partition de l'univers: Les évènements A1,A2,...,An forment une partition de l'univers s'ils sont deux à deux incompatibles et que:

 

Probabilité d'un évènement


Par définition la probabilité d'un évènement A est la somme de toutes les probabilités des issues de A. Par convention la probabilité de l'ensemble vide est de 0.


Pour tout évènement A et tout évènement B:






 

3) Variable aléatoire

Définition: Une variable aléatoire X est une application définie sur un ensemble Ωmuni d'une loi de probabilité P a valeur dans R
X Prend la valeur xi avec la probabilité pi

L'espérance de X est:


La variance de X est:


L'écart type est:

Propriété


Soit X et Y deux variables aléatoires:

E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(aX)=aE(X)

Corollaire


On peut déduire les propriétés suivantes:

  • E(X+b) = E(X) +b
  • V(X) = E(X-E(X)² = E(X²) - E(X)²
  • V(aX)=a²V(X)
  • V(X+b)=V(X)
  • σ(ax)=|a|σ(x)
  • σ(X+b)=σ(X)

 

II - Probabilités conditionnelles

 

Définition


Soit A et B deux évènements, B de probabilité non nulle. La probabilité de A sachant que B est réalisé -ou "de A sachant B"- est le nombre:


On peut remarquer que:


Donc

Théorème: Formule de probabilité totale


Soit A1,A2,...,An des évènements de probabilité formant une partition de l'univers Ω

Alors, pour tout évènement B:





 
Il est possible que ce cours soit incomplet mais l'essentiel est là.

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