Probabilités

Lorsqu'une expérience aléatoire comporte un nombre fini d'issues ou défini sur l'ensemble de ces issues, appelé univers est noté...

I - Rappels

1) Notions

Loi de probabilité

Lorsqu'une expérience aléatoire comporte un nombre fini d'issues ou défini sur l'ensemble de ces issues, appelé univers est noté:


Un loi de probabilité associe à chaque x_i un nombre p_i tel que:


 

Loi équirépartie

Soit p=(p₁,p₂,...,p_n) une loi de probabilité sur Ω

On  dit que P est équirépartie lorsque:


Par conséquent:

Paramètres associés

On appelle espérence de la loi P le nombre:


On appelle variance de la loi P le nombre V:


On appelle écart type:

2) Définitions

Evènement: on appelle évènement toute partie A de Ω

Evènement élémentaire: un évènement réduit à une seul issue, par exemple A={x_i} est un évènement élémentaire

Evènement certain: L'univers constitue l'événement certain

Evènement impossible: L'ensemble vide est l'événement impossible

Evènement contraire: L'évènement contraire a A est:


Evènements incompatibles: deux évènements A et B sont incompatibles si:


Partition de l'univers: Les évènements A₁,A₂,...,A_n forment une partition de l'univers s'ils sont deux à deux incompatibles et que:

Probabilité d'un évènement

Par définition la probabilité d'un évènement A est la somme de toutes les probabilités des issues de A. Par convention la probabilité de l'ensemble vide est de 0.


Pour tout évènement A et tout évènement B:

3) Variable aléatoire

Définition: Une variable aléatoire X est une application définie sur un ensemble Ωmuni d'une loi de probabilité P a valeur dans
X Prend la valeur x_i avec la probabilité p_i

L'espérance de X est:


La variance de X est:


L'écart type est:

Propriété

Soit X et Y deux variables aléatoires:

E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(aX)=aE(X)

Corollaire

On peut déduire les propriétés suivantes:

• E(X+b) = E(X) +b
• V(X) = E(X-E(X)² = E(X²) - E(X)²
• V(aX)=a²V(X)
• V(X+b)=V(X)
• σ(ax)=|a|σ(x)
• σ(X+b)=σ(X)

II - Probabilités conditionnelles

Définition

Soit A et B deux évènements, B de probabilité non nulle. La probabilité de A sachant que B est réalisé -ou "de A sachant B"- est le nombre:


On peut remarquer que:


Donc

Soit A₁,A₂,...,A_n des évènements de probabilité formant une partition de l'univers Ω

Alors, pour tout évènement B:





 
Il est possible que ce cours soit incomplet mais l'essentiel est là.