Etudes de Fonctions: Limites, Continuité, Dérivation

f(x) tend vers l quand x tend vers l'infini si tout intervalle ouvert contient toute les valeurs d(x) pour x assez grand.
On note:

I - Limites

1) En + et -

a) Définitions

Les fonctions sont ici considérées comme définies sur un intervalle de forme [M;+[ respectivement ]+;M]

f(x) tend vers l quand x tend vers l'infini si tout intervalle ouvert contient toute les valeurs d(x) pour x assez grand.
On note:


f(x) tend vers + quand x tend vers +, si tout intervalle de la forme [A;+[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand
On note:


On définit de manière analogue:


Et :

b) Interprétation graphique et asymptote

Soit a et b deux reels
Si:

Alors la droite Δ d'équation y=ax+b est asymptote à Cf




Ainsi l'étude du signe de f(x)-(ax+b) permet de conclure quant à la position relative de Δ et de Cf

Si on considère:

=> La droite Δ d'équation y=l est asymptote à Cf en + (respectivement -)



Pour a=0, on parle d'asymptote horizontale, autrement on parle d'asymptote oblique, dans ce dernier cas f tend vers + (respectivement -)

c) Propriétés (admises)

Pour n ^*:





Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limites lorsque x tend vers l'infini

2) Limites en a, a 

Les fonctions sont ici définies sur un intervalle contenant a ou de la forme ]...;a[ ou ]a;...[

Théoreme(admis):

a) Fonctions usuelles définies en a

On dira fonction usuelle lorsque f est:

• Une fonction polynome
• 
• 
• 

Ou la somme, le produit, le quotient ou la valeur absolue de telles fonctions.
Si f est définie en a, alors:

b) Fonctions non définies en a

Si, pour x diférent de a, f(x)=g(x), ou g est une fonction usuelle telle que définie dans le 1), alors f admet une limite en a:

c)Résultat à connaitre

Asymptotes



(fragment de cours à venir)

5) Limite

Théorème (admis)
a,b et l sont des reels, ou + ou -

III - Continuité

Idée intuitive: soit C_f la représentation graphique de f dans le repere (O,i,j).
F est continue si l'ont peut tracer la courbe C_f sans "lever le crayon" , autrement dit sans interruption (discontinuité)


Ici Cf  est continue tandis que Cg ne l'est pas.

Définition: f est une fonction définie sur l'intervalle I contenant a. f est continue en a si:

f est continue sur I si elle est continue en tout point a I

Théoreme des valeurs intermédiaires (preuve à venir)
f est une fonction continue sur un intervalle I contenant a et b. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un reel c compris entre a et b, tel que:
f(c)=k

IV- Dérivation

1) Définition

f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un point de I. f est dérivable en a si:

Admet une limite l lorsque h tend vers 0
Dans ce cas l est le nombre dérrivé de f en a:

Lorsque f est dérivable en a, on peut écrire:

Ainsi f'(a)(x-a)+f(a) est une approximation affine de f au voisinage de a.
Cf admet pour tangente au point d'abscisse a la droite d'équation:
y=f'(a)(x-a)+f(a)
De plus:

Et de cela en découle:

Cela veut dire que si f est dérivable alors elle est continue.

f est dérivable sur I si f est déribable en tout point a de I
On défini alors sur I la fonction dérivée de f, f' par:

2) Variations et extremas

Théoreme:
f est une fonction dérivable sur I.

• Si f" est nulle sur I alors f est constante
• Si f' est strictement positive, sauf en un nombre fini de reel (ou elle s'annule), alors f est strictement croissante sur I
• Si f' est strictement négative, sauf en un nombre fini de reel (ou elle s'annule), alors f est strictement décroissante sur I

3) Dérivé d'une fonction composé.

Théoreme
f fonction définie sur un intervalle I

On note sa dérivé:

Corollaire:
U(x) est une fonction dérivable en x₀
Alors:

est dérivable en x₀ (avec u(x₀) différent de 0) et:

Si u(x₀)>0, la fonction:

Est déribable et:

4) Formules de dérivation usuelles

f(x) est une fonction définie et dérivable sur I:

f(x)	Df	f'(x)	Df'
k		0
xn	pour n>0 * pour n<0	n*xn-1	Df
√(x)	+		*+
sin(x)		cos(x)
cos(x)		-sin(x)
tan(x)			Df

u et v sont deux fonctions

f	f'	Conditions
u+v	u'+v'
ku	ku'
u*v	u'v+uv'
1/v		v(x) non nul sur I
u/v		v(x) non nul sur I
vou	u'*v'ou
√(u)		u(x)>0
un	n*u'*un-1	u(x) non nul si n<0